IEEE-754 Introduce

IEEE 754 标准数值类型及分类

整数 Integer

整数是没有小数部分的值, 在计算机内通常有两种表示方式:

• 有符号整数: 可以表示正数和负数, 最常用的是二补码表示. 例如 8 位二进制的范围为[-2^7, 2^7-1]
• 无符号整数: 仅表示非负数, 8 位二进制的范围为 [0, 2^8-1]

其中补码(Two’s Complement)用于表示负数

• 正数补码与原码相同
• 负数的补码 = 该数绝对值的二进制取反 + 1

通过补码, 可以使得加减运算统一, 溢出检测更加简单

浮点数 Floating-point

浮点数用于表示带小数的实数, 尤其适合科学计算和近似表示很大或很小的数值. IEEE 754 定义了浮点数的标准格式, 类似科学计数法:

value = (-1)^(sign) x mantissa x 2^(exponent)

浮点数由三部分组成:

1. 符号位 sign: 0/1代表正负
2. 阶码 exponent: 通常使用偏移表示法
3. 尾数 fraction/mantissa: 小数部分

常见浮点数类型:

• 单精度 float32: 1 位符号 + 8 位阶码 + 23 位尾数
• 双精度 float64: 1 位符号 + 11 位阶码 + 52 位尾数

浮点数的分类 Categories

以 64 精度为例

浮点数的表示公式:

value = (-1)^sign x (1 + fraction) x 2^(exponent - bias)

• 正常数 Normalized numbers

  • 阶码 exponent: 不全为0, 也不全为1, [1, 2^11-2]
  • 尾数 fraction: 隐含1, [0, 1 - 2^-52], (52位全1 位 1 - 2^-52)

  value = (-1)^sign x (1 + fraction) x 2^(exponent - 1023)
  

  其中, bias = 2^(exponent - 1) - 1, 这里为 1023

  • 最大正常数: 阶码最大为 1024*2-2 = 2046, 尾数全为1 1-2^-52, 即 ( 1 + (1 - 2^-52) ) x 2^(2026-1023)
  • 最小正常数: 阶码最小位 1, 尾数全为0, 即 ( 1 + 0 ) x 2^(1-1023)

• 非正规数 Subnormal numbers / Denormalized numbers

  • 阶码 exponent: 全0
  • 尾数 fraction: [0, 1-2^-52], 没有隐藏位1

  value = (-1)^sign x (fraction) x 2^(1 - bias)
  

  非正规数指数紧接最小正常数, 使非正规数数值连续接近零

  注意: 非正规数的指数并不是阶码减 bias 的直接结果(0−1023 = −1023), 而是约定使用最小正常数指数 E_min = −1022. 这样可以让非正规数顺接正常数, 形成连续的可表示范围, 并支持渐进下溢.

  • 最大非正规数: 阶码为0, 尾数全为1, 即 ( 1 - 2^-52 ) x 2^(-1022)
  • 最小非正规数: 阶码位0, 尾数最低位为1, 其他为0, 即 ( 2^-52 x 2^(-1022) )

• 零 0

  • 符号 sign: 0/1 正负零
  • 阶码 exponent: 0
  • 尾数 fraction: 0

• 无穷 infinity

  • 符号sign: 0/1 正负无穷
  • 阶码 exponent: 2047 (全1)
  • 尾数 fraction: 0

• 非数值 NaN

  • 阶码 exponent: 2047 (全1)
  • 尾数 fraction != 0

  表示未定义或非法运算, 如 0/0

注意: 非正规数的阶码虽然为全0, 但是计算时约定为 1-bias = 1-1023 = -1022, 而不是像正规数那样 exponent - bias