插值

给定$y=f(x)$的一系列数据点$(x_{i},y_{i})(i=0,1,...,n)$，我们希望通过这些数据点得到函数的解析表达式，插值就是方法之一。找到一个函数$P(x)$使得$P(x_{i}=y_{i})$成立，将此函数作为$f(x)$的近似函数，这就是基本的插值问题。其中，$P(x)$称为插值函数类，$P(x_{i}=y_{i})$为插值条件，要求的函数$P(x)$称为插值函数，$f(x)$称为被插值函数
插值-wiki

插值方法

Lagrange 拉格朗日插值

假设任意两个不同的$x_{j}$都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为$P(x)=\sum_{i=0}^{n}l_{i}(x)y_{i}$，其中$l_{i}=\prod_{\frac{x-x_{j}}{j=0,j\neq i}}^{n}$为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数）

from scipy.interpolate  import lagrange
# x y长度要相等
x = [1, 2, 3,4]
y = [4, 15, 40, 85]
ret = lagrange(x,y)
print(ret)
  

拉格朗日插值-wiki

分段线性插值

分段多项式插值(Piecewise polynomial interpolation)就是求n段多项式$P(x)$，使其满足插值条件，也成为折线插值或分段线性插值.
$P_{1}(x)=\frac{x-x_{i}}{x_{i+1}-x{i}}y_{i+1}+\frac{x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i+1}},x\in [x_{i},x{i+1}] i=0,1,...,n-1$
分段多项式插值是用一个多项式去将一族点逼近，有的时候这唯一的多项式不能很好地将数据聚拢，预测其他点也未必准确，规避此缺点可以考虑将这一族点集合分成若干组，对每一组点集用一个多项式逼近(插值)，这样有多少组变有多少个多项式，那么整个逼近局部光滑。分段多项式逼近的每一段(每组点集)都有一个多项式，可以是一次、二次…等n次多项式，如果针对一族点集每段都是一次多项式，那么可称之分段一次多项式插值或逼近，依次类推。

分段二次插值

这里的插值函数$P_{2}(x)$为一个二次多项式，在几何上为分段抛物线代替曲线$y=f(x)$，也称为抛物线插值，其插值公式为 $P_{2}(x)=\frac{(x-x_{2i+1})(x-x_{2i+2})}{(x_{2i}-x{2i+1})(x_{2i}-x{2i+2})}y_{2i}+\frac{(x-x_{2i})(x-x_{2i+2})}{(x_{2i+1}-x{2i})(x_{2i+1}-x{2i+2})}y_{2i+1}+\frac{(x-x_{2i})(x-x_{2i+1})}{(x_{2i+2}-x{2i})(x_{2i+2}-x{2i+1})}y_{2i+2}$
其中
$x\in [x_{2i},x_{2i+2}], i=0,1,2,...,n-1$

newtown牛顿插值

1)函数的差分

设有函数$f(x)$以及等距节点$x_{i}=x_{0}+ih(i=0,1,...,n)$，步长$h$为常数，$f_{i}=f(x_{i})$.称相邻两个节点$x_{i},x{i+1}$的函数增量 $f_{i+1}-f_{i}(i=0,1,...,n-1)$为函数$f(x)$在点$x_{i}$处以$h$为步长的一阶向前差分，极为$\Delta f_{i}$，即 $\Delta f_{i}=f_{i+1}-f_{i}, i=0,1,...,n-1$
类似的，定义差分的差分为高阶差分.如二阶差分
$\Delta^{2}f_{i}=\Delta f_{i+1}-\Delta f_{i}, i=0,1,...,n-2$
归纳定义如下
$\Delta^{0}f(x)=f(x)$
$\Delta^{m}f(x)=\Delta^{m-1}f(x+h)-\Delta^{m-1}f(x)$
2)函数的差商

设有函数$f(x)$以及一系列相异节点$x_{0}<x_{1}<...<x_{n}$，则称$\frac{f(x_{i})-f(x_{j})}{x_{i}-x_{j}}(i\neq j)$为函数$f(x)$关于节点 $x_{i},x_{j}$的一阶差商，极为$f[x_{i},x_{j}]$，即
$f[x_{i},x_{j}]=\frac{f(x_{i})-f(x_{j})}{x_{i}-x_{j}}$
称一阶插商的差商
$\frac{f[x_i,x_j]-f[x_j,x_k]}{x_{i}-x{k}}$
为$f(x)$关于$x_i,x_j,x_k$的二阶差商，记为$f[x_i,x_j,x_k]$.一般地，称
$\frac{f[x_0,x_1,...,x_{k-1}]-f[x_1,x_2,...,x_k]}{x_{0}-x{k}}$
为$f(x)$关于点$x_0,x_1...,x_k$的k阶差商，记为
$f[x_0,x_1,...,x_k]=\frac{f[x_0,x_1,...,x_{k-1}]-f[x_1,x_2,...,x_k]}{x_{0}-x{k}}$
```
# 使用递归求差商
def diff_quo(xi=[], yi=[]):
    if len(xi) > 2 and len(fi) > 2:
        return (diff_quo(xi[:len(xi)-1], fi[:len(fi)-1]) - diff_quo(xi[1:len(xi)], fi[1:len(fi)])) / float(xi[0]-xi[-1]))
    return (fi[0]-fi[1]) / float(xi[0]-xi[1])
```
3)牛顿公式插值公式

由于$y=f(x)$关于两点$x_0,x_1$的线性插值多项式为 $N_1(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)$ 可将其表示成$N_1(x) = f(x_0) + (x-x_0)f[x_0-x_1]$,称为一次牛顿插值多项式。

一般地，由各阶差商的定义，依次可得

$f (x) = f(x_0) + (x-x_0)f[x,x_0]$,

$f[x,x_0] = f[x_0,x_1] + (x-x_1)f[x,x_0,x_1]$,

$f[x,x_0,x_1] = f[x_0,x_1,x_2] + (x-x_2)f[x,x_0,x_1,x_2]$,
\[\cdots\] \[f[x,x_0,\cdots,x_{n-1}] = f[x_0,x_1,\cdots,x_n] + (x-x_n)f[x,x_0,\cdots,x_n]\]
将以上个式分别乘以$1,(x-x_0),(x-x_0)(x-x_1),\cdots,(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})$，然后相加消去两边相等的部分，即得
\[\quad f(x)\] \[= f(x_0) + (x-x_0)f[x_0,x_1]+\cdots+(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})f[x_0,x-1,\cdots,x_n]\]
$\quad + (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)f[x,x_0,x_1,\cdots,x_n]$,

记
\[\quad \quad N_n(x) = f(x_0) + (x-x_0)f[x_0,x_1]\]
$\quad \quad\quad \quad +\cdots+(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)f[x,x_0,x_1,\cdots,x_n]$,
\[\quad \quad R_n(x) =(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)f[x,x_0,x_1,\cdots,x_n]\]
显然，$N_n(x)$是至多$n$次的多项式，称为牛顿插值多项式。$R_n(x)$称为牛顿插值余项

$\quad$ 牛顿插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即
\[N_{n+1}(x) = N_n(x) + (x-x_0)\cdots(x-x_n)f[x_0,x_1,\cdots,x_{n+1}]\]
因而便于递推运算，而且牛顿插值的计算量小与Lagrange插值.

spline 样条插值

数学上将具有一定光滑性的曲线称为样条函数，即给区间$[a,b]$的一个划分
$\Delta: a=x_0<x_1<...<x_n=b$
若$ S(x) $满足:

在每个小区间$[x_i,x_{i+1}], i=0,1,...,n-1$上为m多项式
在区间$[a,b]$上具有$m-1$阶连续导数
则称$S(x)$为关于划分$\Delta$的$m$次样条函数，其中图形为$m$次样条函数曲线。
这里介绍三次样条差值，在区间$[a,b]$上二阶连续可导，且$S(x_1)=y_i(i=0,1,...,n)$，不妨记
$S(x)=S_i(x)=a_ix^3+b_ix^2+c_ix+d_i, x\in [x_i, x_{i+1}], i=0,1,...,n-1$
其中$a_i, b_i, c_i, d_i$为待定系数，一共4n个，得到4n-2个方程

\[S(x_i)=y_i, & i=0,1,...,n, \\ S_i(x_{i+1})=S_{i+1}(X_{i+1}), & i=0,1,...,n-2, \\ S_i^'(x_{i+1})=S_{i+1}^'(x_{i+1}), & i=0,1,...,n-2, \\ S_i^{''}(x_{i+1})=S_{i+1}^{''}(x_{i+1}), & i=0,1,...,n-2,\]

二维数据的双三次样条插值

例题求解

interp1d 一元插

scipy.interpolate.interp1d(x, y, kind='linear', axis=- 1, copy=True, bounds_error=None, fill_value=nan, assume_sorted=False)
  

参数:

x, y: ndarray数组
kind: 插值方法{linear: 线性, nearest: 最近邻, nearest-up, previous, next; zero, slinear, quadratic, cubic: 一次到四次函数}
axis: 插值的轴(默认y轴)

from scipy.interpolate import interp1d
  